Wie verändert sich das Volumen des Würfels?

Solche Aufgaben bedeuten für viele Schüler pure Verzweiflung. Dabei ist es mit ein wenig Übung gar nicht so schwer und für jeden zu schaffen. Ich möchte in diesem Beitrag anhand einer Aufgabe zwei wichtige Schritte zeigen. [embed]https://www.flickr.com/photos/wwworks/4195916777[/embed]

Aufgabe: Wie verändert sich das Volumen des Würfels, wenn man die Kantenlänge verdoppelt?

Erste Reaktion des Gehirns: „Keine Ahnung. Woher soll ich das wissen? Wird halt größer.“ In der Mathematik stellt man nicht nur fest, dass das Volumen größer wird, sondern fragt noch genauer: „Um wie viel größer wird das Volumen?“

Schritt 1: Beispielzahlen

Man nimmt sich am Anfang einfach ein paar Beispielzahlen und rechnet ein paar Volumen aus. Mit a = 1 hat man zuerst ein Volumen von 1 und mit doppelter Kantenlänge ein Volumen von 8. Mit a=2 hat man zuerst 8 und dann 64. Mit a=3 wird aus 27 auf einmal 216. Nun kann man schon eine Vermutung aufstellen, dass das Volumen nicht einfach nur doppelt so groß wird, sondern sich gleich um ein Vielfaches vergrößert. Einige sehen auch schon, dass es der Faktor 8 zu sein scheint.

Schritt 2: Verallgemeinern

Das Ziel ist, das alte Volumen und das neue Volumen in einer Gleichung mit einem Faktor zu haben: $$V_2 = k\cdot V_1$$. Also benötigt man zunächst für beide Volumen eine Formel. Das anfängliche Volumen berechnet man mit $$V_1 = a^3$$. Das vergrößerte Volumen berechnet sich aus $$V_2 = (2\cdot a)^3$$. Diese Gleichung kann man mit Potenzgesetzen verändern: $$(2a)^3 = 2^3 \cdot a^3 = 8\cdot a^3$$. Da $$a^3$$ das Anfangsvolumen war, kann man auch schreiben: $$V_2 = 8\cdot V_1$$.   Diese zwei Schritte sind sehr wichtig und man braucht Übung darin. Ich werde womöglich weitere Posts über Aufgaben schreiben, die mit diesen beiden Schritten gelöst werden.   Bildquelle: woodleywonderworks