Um die periodische Dezimalzahl \(1,\overline{687}\) in einen Bruch umzuwandeln, folgen wir einem strukturierten Ansatz.
### Schrittweise Lösung
**1. Identifiziere die periodische Stelle**
Die Zahl \(1,\overline{687}\) hat die periodische Sequenz "687", die sich unendlich nach dem Komma wiederholt.
**2. Multipliziere mit einer Zehnerpotenz, damit die Periode direkt nach dem Komma steht**
Da "687" drei Ziffern umfasst, multiplizieren wir die ursprüngliche Zahl mit \(1000\):
\[
x = 1,\overline{687}
\]
\[
1000x = 1687,\overline{687}
\]
Nun steht "687" direkt hinter dem Komma.
**3. Finde eine zweite Zahl mit derselben periodischen Nachkommastelle**
Jetzt erstellen wir eine zweite Gleichung, indem wir erneut das \(x\) multiplizieren, aber so, dass die Periode nicht mehr vorhanden ist. Multiplizieren wir dafür die ursprüngliche Zahl mit \(10\), so dass:
\[
10x = 16,\overline{687}
\]
**4. Bilden der Differenz der beiden Gleichungen**
Subtrahiere die zweite Gleichung von der ersten, um den periodischen Anteil zu eliminieren:
\[
1000x - 10x = 1687,\overline{687} - 16,\overline{687}
\]
Dies führt zu:
\[
990x = 1687 - 16
\]
\[
990x = 1671
\]
**5. Stelle die Gleichung nach der Ursprung Dezimalzahl um**
Löse nach \(x\) auf:
\[
x = \frac{1671}{990}
\]
**6. Kürze den resultierenden Bruch**
Wir kürzen den Bruch \(\frac{1671}{990}\). Dazu bestimmen wir den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von 1671 und 990.
- Faktorisierung von 1671: \(1671 = 3 \times 557\)
- Faktorisierung von 990: \(990 = 2 \times 3^2 \times 5 \times 11\)
Der gemeinsame Teiler ist \(3\). Also:
\[
\frac{1671}{990} = \frac{1671 \div 3}{990 \div 3} = \frac{557}{330}
\]
\(\frac{557}{330}\) ist der gekürzte Bruch. Weitere Kürzung ist nicht möglich, da 557 eine Primzahl ist und kein gemeinsamer Teiler mit 330 existiert, außer 1.
Daher lautet der vollständig gekürzte Bruch:
\[
x = \frac{557}{330}
\]
Diese Vorgehensweise sichert ein korrektes und vollständiges Umwandeln der periodischen Dezimalzahl in einen Bruch.