Kursnotizen aus dem Projekt Vektoren und Geraden – Grundkurs (Koonys Kurse). Die folgenden Abschnitte fassen die Themen, Merksätze und verlinkten Videos zusammen.
Grundlagen der Vektorrechnung
Vektor zwischen zwei Punkten
-die Sache mit "von A nach B" und "von B nach A"
-dabei gilt: Endpunkt - (minus) Anfangspunkt
B-A
$$\vec{AB} = \vec{b}-\vec{a}$$
YouTube zeigt es nochmal.
Wie nennt man den Vektor?
Zwischen zwei Punkten einfach dieses AB mit Pfeil oben drüber. Nur das kleine a mit Pfeil ist quasi der von (0|0|0) ausgehend.
Koordinaten, Spaltenvektoren, Ortsvektoren
-drei Koordinaten: x,y und z
-untereinander geschrieben nennt man diese: Spaltenvektor
Wichtig zu Wissen ist, dass ein Vektor ein Pfeil ist, der irgendwo startet und endet.
-Vektoren kann man verschieben, der Pfeil bleibt gleich (unterschiedlicher Start/Endpunkt)
-geht Vektor vom Ursprung ( 0|0|0), bis zu einem Punkt = Ortsvektor
(Zu jedem Punkt gibt es einen Ortsvektor. Also quasi einen Pfeil, der draufzeigt.)
-in YouTube zeichnen
Beliebte Fehler
bei Koordinatenachsen: die x-Achse zeigt zu dir
Einteilung der x-Achse nur halb so lang ist (0,5/bzw. 1 Kästchen)
die gestrichelten Linien nicht vergessen bei den Punkten
Kann man bei falscher Beschriftung der Koordinatenachsen diese nicht einfach drehen?
Nein, weil eine Achse dann eventuell in die falsche Richtung zeigt.
Rechnen mit Vektoren, Rechengesetze
Die Bezeichnung von Vektoren sind Kleinbuchstaben mit einem Pfeil oben drüber.
In Gleichungen kann man mit den Vektoren genauso rechnen, wie man es von Variablen gewohnt ist.
Einzige Ausnahme: man kann nicht durch einen Vektor teilen.
Kleiner Überblick, wie man rechnet, im YouTube unten.
Der Betrag eines Vektors
$$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$$
Alle Koordinaten quadrieren, addieren und Wurzel ziehenYouTube
-Ergebnis ist oft eine Zahl, bei welcher man die Wurzel ziehen muss
(Das tatsächliche Wurzelziehen kann man sich aber oft schenken. Die Zahl mit Wurzel ist meist ausreichend.)
-Ergebnis ist meinst eine Kommazahl (runden)
Beliebter Fehler
Zahlen nicht ins Quadrat
vergisst die Klammern, wenn Minus dabei ist
Abstand zwischen Punkten
Vektor zwischen den beiden Punkten bestimmen.
Betrag des Vektors ausrechnen.
Wie ziehe ich den Betrag eines Vektor?
Das ist das mit der Wurzel, wo man die Koordinaten ins Quadrat nimmt, zusammenrechnet und dann fertig ist.
Man kann unter der Wurzel die Zahlen ins Quadrat rechnen und immer addieren.
Minuszeichen sind dabei völlig wurscht.
Kollinearität
$$\vec{a}=k\cdot\vec{b}$$
Kommt in jeder der drei Gleichung das Gleiche raus, sind die Vektoren kollinear, also parallel.
Bei den Aufgaben lernt man zum ersten Mal kennen, dass eine Gleichung mit Vektoren eigentlich drei Gleichungen sind. Das wird noch ultra wichtig!
3 Gleichungen Bilden: erste,zweite und dritte Zeile abschreiben (waagerecht)
Gut zu wissen
kollinear = parallel
auch: lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit
auch mit 3 Vektoren machbar
Manchmal ist bei Kollinearität ein k, r oder s dabei. Ist das egal?
Ja das sind einfach irgendwelche Variablen. Man nimmt einfach irgendeinen Buchstaben.
Spielt es eine Rolle welcher Vektor alleine steht?
Ist wurscht.
Wenn man bei einer Variante auf eine 2 für die Variable kommt, käme man bei der anderen Variante auf 1/2.
Das Ergebnis ob etwas kollinear ist oder nicht, bleibt aber gleich. (Entweder "ja" oder "nein".)
Was ist eine Linearkombination?
Das ist quasi Kollinearität aber mit 3 Vektoren .
Da geht es um die Frage, ob drei gegebene Vektoren auf einem Blatt flach liegen können.
Interessiert aber eigentlich nur im Leistungskurs.
Zusammenfassung
Kleine Zusammenfassung von heute. 🙂
Man weiß bis hierhin, wie man Abstände, also Längen, berechnen kann und ob zwei Strecken, also Vektoren, parallel sind.
Textaufgaben mit Figuren
Hier muss man die paar Sachen, die man bisher gelernt hat, wissen, und bei geometrischen Formen anwenden können.
Gut zu wissen
gleichseitiges Dreieck = 3 gleich lange Seiten
gleichschenkliges Dreieck=2 gleich lange Seiten
Parallelogramm=gegenüberliegende Seiten gleich lang und parallel
Eine Beispielaufgabe gibt es YouTube.
Skalarprodukt, Winkel zwischen Vektoren
-man multipliziert zwei Vektoren
$$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1\cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3$$
-man multipliziert jeweils die Koordinaten
(erste * erste, zweite * zweite und dritte * dritte)
-addiert das zusammen
-Formel mit Kosinus=Winkel zwischen zwei Vektoren
$$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\gamma)$$
Beliebte Fehler
das cos-1 vergessen
Im Taschenrechner die Einstellung "rad" anstatt "deg" haben
Vergessen beim Taschenrechner, dass Winkel ausgerechnet wird
Tipps
Wurzeln am Ende erst rechnen, wenn man einmal alles eingibt.
Taschenrechner vergessen? Nimm das Handy und halte es quer. ;)
Warum ist der Winkel Gamma?
Weil das wie ein Dreieck ist und gegenüberliegend wäre die Seite c quasi.
Was ist das "ar" vor cos?
Erinnerst du dich an Kosinus hoch -1, wenn man den Winkel ausrechnen will?
Das ist nur eine andere Schreibweise.
Kann ich nach dem Multiplizieren das erstmal noch als Vektor schreiben?
Auf gar keinen Fall. Das kommt in eine Zeile.
Ist es egal welcher Vektor zuerst kommt?
Ist wurscht.
Lediglich die Richtung der Vektoren ist wichtig.
Geradengleichungen
Die vektorielle Parametergleichung einer Geraden
Stützvektor: a mit Pfeil
Richtungsvektor: m mit Pfeil
$$\mathrm{g}: \vec{x}=\vec{a}+r\cdot\vec{m}$$
Warum heißt es denn so umständlich vektorielle Parametergleichung?
"Geradengleichung" könnte auch dieses y = mx + n sein, was man in der 8. Klasse kennen gelernt hat. Zum Beispiel y = 5x + 2.
Die Zweipunktegleichung einer Geraden
-Punkte A und B sind gegeben= Geradengleichung aufstellen (geht durch diese Punkte)
$$\mathrm{g}: \vec{x}=\vec{a}+r\cdot(\vec{b}-\vec{a})$$
Wie stellt man die vektorielle Parametergleichung einer Geraden auf?
Man hat dafür zwei Punkte gegebenen und für die Gleichung einen Stützvektor und einen Richtungsvektor.
Einer der beiden Punkte, welcher ist egal, ist der Stützvektor.
Die Differenz der beiden Punkte, ist der Richtungsvektor.
Fertig. 🙂
Punktprobe bei einer Geraden
-gegebenen Punkt für x einsetzen
-drei Gleichungen aufstellen
-nach r Auflösen jeweils
r überall gleich: Pinkt liegt auf Gerade
r nicht gleich: dann nicht
Gegenseitige Lage von zwei Geraden
Wenn man zwei Geraden gegeben hat, wird die Frage sein, wie die so zueinander sind.
Möglichkeiten sind:
identisch
parallel
windschief
schneidend
Es gibt mehrere Möglichkeiten die Lage heraus zu finden. Durchgesetzt hat sich ein Ablaufplan, wie im YouTube gezeigt.
Müssen für einen Schnittpunkt r uns s gleich sein?
Nein.
Ist es bei parallel oder identisch egal, welcher Vektor vorne steht?
Ja.
Spurpunkte
Es wird die Frage auftauchen, wo eine gegebene Gerade die Ebenen schneidetYouTube
Beispiel xy-Ebene:
In der xy-Ebene wird die z-Koordinate Null sein.
Also setzt man für das x einen allgemeinen Punkt (x|y|0) ein.
Mit der letzte Zeile, da wo die 0 steht, bekommt man das r heraus.
Mit diesem r und den ersten beiden Zeilen bekommt man dann das x und y heraus.
Übungen
Der Schattenwurf
Der Schattenwurf bei Vektoren
Der Schattenwurf bei Vektoren ist ein Konzept der analytischen Geometrie, das besagt, dass ein Vektor, der auf eine Ebene projiziert wird, einen Schattenwurf erzeugt, der ein paralleles Vektorbild des ursprünglichen Vektors ist. Der Schattenwurf ist ein wichtiges Konzept in der analytischen Geometrie, da es uns ermöglicht, die Position eines Vektors in Bezug auf eine Ebene zu bestimmen.
Lösung
Um den Schattenwurf eines Vektors zu bestimmen, müssen wir zuerst die Richtung des Vektors bestimmen. Dies kann durch die Bestimmung der Richtungskosinus (DRC) des Vektors erfolgen. Der DRC ist ein Maß für die Richtung des Vektors, das durch die Division des x-Komponenten des Vektors durch die Länge des Vektors bestimmt wird. Wenn der DRC des Vektors bekannt ist, kann der Schattenwurf des Vektors auf einer Ebene bestimmt werden, indem die Richtung des Vektors auf die Ebene projiziert wird. Der Schattenwurf des Vektors ist dann ein paralleles Vektorbild des ursprünglichen Vektors.
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Original
Was ist der Schattenwurf bei Vektoren?
Thema analytische Geometrie.
Bogenschießen
Test Geraden - Seite 124
Geradengleichung, Punkt und Strecke
Geraden am Quader
Relative Lage von Geraden, Spurpunkte
Prüfungen
Test: Grundlagen der Vektorrechnung
Test am Freitag den 01.10.2021.
Ergebnis: 28/35 Punkte, was 12 Punkten entspricht. 😄
Klausur: Vektoren und Geraden
Die Arbeit wird am 18.11.2021 sein.