Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, in der die Variable $x$ mindestens in der zweiten Potenz (als $x^2$) vorkommt.
Die allgemeine Form
$$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$$
Bei einer reinquadratischen Gleichung fehlen der lineare Term $bx$ und oft auch die Konstante $c$, sodass nur $x^2$ übrig bleibt:
$$ax^2 = c \quad \text{bzw.} \quad x^2 = a$$
Warum gibt es meistens zwei Lösungen?
Weil sowohl eine positive als auch eine negative Zahl, quadriert, dasselbe Ergebnis liefern:
$$3^2 = 9 \quad \text{und} \quad (-3)^2 = 9$$
Deshalb gilt immer:
$$x^2 = a ;\Rightarrow; x = +\sqrt{a} \quad \text{oder} \quad x = -\sqrt{a}$$
kurz geschrieben: $x = \pm\sqrt{a}$
Die drei Fälle
Rechte Seite | Beispiel | Lösungsmenge |
|---|---|---|
$a > 0$ | $x^2 = 25$ | $L = {-5;, 5}$ |
$a = 0$ | $x^2 = 0$ | $L = {0}$ |
$a < 0$ | $x^2 = -4$ | $L = {}$ |
Lösungsstrategie (Schritt für Schritt)
Ziel: Die Gleichung so umformen, dass links ein quadratischer Term steht und rechts eine Zahl.
$$(\text{Term})^2 = \text{Zahl}$$
Dann Wurzel ziehen und nach $x$ auflösen.
Beispiel: $\quad 3x^2 - 17 = 91$
$$3x^2 = 108 ;\xrightarrow{:3}; x^2 = 36 ;\xrightarrow{\sqrt{\phantom{0}}}; x = \pm 6$$
$$L = {-6;, 6}$$
Häufigster Fehler
$$x^2 = 9 ;\Rightarrow; x = 3 \quad \boldsymbol{\times}$$ $$x^2 = 9 ;\Rightarrow; x = \pm 3 \quad \boldsymbol{\checkmark}$$
Immer beide Lösungen angeben!
Übungen
Auf dem Arbeitsblatt 0060 gibt es 5 Übungen dazu.